マスマスマズマズ研究ノート

数学を学ぶ一人の若者がたまに発言をします。
主に「お笑い」「数学」「ラジオ」を思考対象に更新中。
数学専用ブログCorollaryは必然に。もやってます。

お知らせ

ブログというのは日記と違い、読み手を意識して書くものであります。
僕の数少ない語彙力と、乏しい表現力を振り絞り、伝えたいことを文字で精一杯伝えているつもりです。

ある時は真面目に、
ある時は不真面目に。

言葉というのはそれ単体ではほとんど意味を成しません。

例えば、「愛してる」と言われて皆さんはどう思いますか。
無条件に嬉しいと思いますか?
そんなことはないはずです――。





Cace1
 志波和也と斉藤菜々子は夜景を楽しむことのできる有名イタリアンレストランで食事をしていた。
「今夜は星が綺麗だね」
「うん、そうね」 
「ま、まあ、君には適わないけどね」
「ふふ。どうしたの和也さん、らしくないよ?」
「あれ、そうだった?やっぱ慣れない言葉は使うもんじゃないなあ」
「でも嬉しい。ありがと」
「それでね、そんな君にプレゼントがあるんだ。」
「え、本当?ありがとう!」
「あそこに一番輝いている星、分かる?」
「ん〜と、あれかな?あの星がどうかしたの?」
「あの星を取ってくる」
「和也さん、今日なんか面白いね」
「信じてないね。じゃ、あの星を取るよ。えいっ!」
 和也は夜空に向かって遠くのものを取ろうとする仕草をした。奈々子は訳も分からず和也を見つめている。
「ほら、取れたよ。この箱の中に入ってる」
「え?」
「開けるよ」
 その箱の中にはダイヤの指輪が輝いていた。ダイヤの粒は決して大きくないが、どの星よりも明るい光を放っていた。
「菜々子、君を愛してる。結婚しよう。」





このケースの「愛してる」は嬉しいと思います(誰がやっても上手くいくとは言っていない) 。

では、次のケースはどうでしょう?






Cace2
 曇天模様の空の中、鶴野れんまは自宅でポテトチップスをぼりぼり食べながら一人深夜テレビ番組を見ている 。
『ピリリリリ ピリリリリ』
突然、れんまの携帯電話の着信音が鳴り響く。こんな時間に一体誰だろうと思い、携帯電話を手にとる。どうやら非通知のようだ。初期設定のままの無機質な電子音が不気味さを一層増しているが、れんまは構わず電話に出た。
「もしもし?」
「……………………。」
「あの、もしもし?どちら様でしょうか?」
「……………………愛してる。

『ガチャ。ツー、ツー、ツー。』





同じ「愛してる」でも全然違いますよね。

当たり前ですが、TPOによってその言葉の意味とは違う伝わり方をしてしまうことがあります。





言いたいことが迷走してきたのでそろそろ本題に入りましょう。

2009年から始めたこのブログ、今までご愛読してくれた皆様には感謝を申し上げます。

そんな皆様を愛しています。 




さて、非常に言いにくいのですが、ここで重要なお知らせです。











髪を切りました。













すみません、もう一つお知らせいいですか?
 

このブログは「お笑い」「数学」「ラジオ」を思考対象に書いていたつもりでしたが、「数学」だけ別ブログで書くことにしました。


理由は簡単。livedoorブログ、数式書きづらい。

一応、前回の記事からlivedoorブログでもTeXが打てるように設定したんですが、スマホではTeXソースが表示されてしまい、とても見づらい。


その上、livedoorブログはスマホ表示のカスタマイズが全然できないからどうしようもない。


別の対策として、Tex Converterで数式を画像表示する方法があります。



これいいな!って思ったけど、なんかぼやけてません?これが気になって仕方ないんです。

一方、はてなブログでは、[tex: (ここにTeXソース)]と入力するだけで書けてしまう。こりゃあ便利だ。

もちろんこれからも訳わからんタイトルのブログも随時更新します。

ということで、

新ブログ「Corollaryは必然に。」 

よろしくお願いします。

thank Q for your rEaDing.φ(・▽・ )

中学生でもわかるかもしれない放物線と面積

放物線の下側の面積の公式

問題 放物線 $y=x^2$ と $x$ 軸と直線 $x=2$ で囲まれた面積を求めなさい. 

pala-pic1

[解答] 積分法を学んだ高校生なら求められます. 
よって, 求める面積は. \(\)



このような放物線の下側の面積ですが, 積分の記号を用いずに,
「三角形の面積」「角錐の体積」の公式みたいに表現することもできます!
(公式だけなら中学生でもわかる!)

公式1 (放物線の下側の面積)
para-pic2
放物線 $y=kx^2$ と $x$ 軸 と直線 $x=a$で囲まれた領域の面積は,
\[ (長方形{\rm OABC}の面積)\times\frac{1}{3}. \]
SLAM SHADEにもわかりやすく言うと,
長方形OABC = My heart としたとき,
My heartの1/3が純情な感情です. (これは中学生にはわからない!)
この公式を使えば, 最初の問題は \[ \underset{横}{\underline{2}}\times \underset{縦}{\underline{4}}\times\frac{\;1\;}{3} = \frac{\;8\;}{3} \] と計算しても答えが出ます. 数学が死ぬほど苦手な人はこっちの方がいいかも.

中学生に分かるちゃんとした証明は僕にはできないけど,
厚紙で長方形 1枚と放物線の下側の図形 3枚用意して, てんびんにかけてつり合えば納得してくれると思います.

ちゃんとした証明は高校生なら簡単.
[証明]
斜線部分の面積は
\[ \int_0^akx^2 \,dx = \Big[\frac{kx^3}{3}\Big]_0^a = \frac{ka^3}{3}. \]
一方, 長方形OABCの面積は
\[ \underset{横}{\underline{a}}\times \underset{縦}{\underline{ka^2}} = ka^3. \]
明らかに, 斜線部分の面積は長方形の面積の1/3になってます. ■

公式1 を応用すれば, 次のことも分かります:

公式2 (放物線の“上側”の面積)
para-pic3
右の図の斜線部分の面積は,
\[ (長方形{\rm ABCD}の面積)\times\frac{2}{3}. \]
純情な感情ではない方なので 2/3 です.

公式3
para-pic4($x^n$の下側の面積)
曲線 $y=kx^n$ と $x$ 軸 と直線 $x=a$で囲まれた領域の面積は,
\[ (長方形{\rm OABC}の面積)\times\frac{1}{n+1}. \]
純情な感情の一般化です.
ちなみに, $\frac{n}{n+1}$をかけると上側の面積になります.


公式1の注意するところは, 放物線の頂点を通ってないと使えないところ.

pala-pic 例えば, 右の図の斜線部分の面積 $S$ の場合はちょっと工夫が必要.
つまり, 大きい長方形と小さい長方形に注目して引き算すればいい
\begin{align*} S &= \underset{大きい長方形}{\underline{3\times 9}}\times\frac{1}{3} \quad-\quad \underset{小さい長方形}{\underline{1\times 1}}\times\frac{1}{3}\\ &=\frac{26}{3}. \end{align*} これ, 高校生がやる定積分と同じ計算ですね.

「1/6公式」の証明

これ以降は積分を知らない中学生は読まなくていいです.

積分計算の時間短縮にもなる公式として「1/6公式」はとても有名です.
1/6公式
\[ \int_a^b (x-a)(x-b) \,dx = -\frac{(b-a)^3}{6} \]
証明はゴリ押しでもできるけど,
\begin{align*} \int_a^b (x-a)(x-b) \,dx & = \int_a^b(x-a)(x-a+a-b) \, dx\\ &= \int_a^b \Big((x-a)^2+(a-b)(x-a)\Big) \, dx\\ &= \bigg[\frac{(x-a)^3}{3}+(a-b)\frac{(x-a)^2}{2}\bigg]_a^b\\ &= -\frac{(b-a)^3}{6} \end{align*}
とやるのが一番スマートだと思う(ここでは書かないけど部分積分のやり方も好き).
これでもう十分だけど, せっかくなんで公式2で説明してみます.

[証明]
para-pic5 放物線 $y=(x-a)(x-b)$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x=a,\, b$.
頂点の $x$ 座標は $\displaystyle x=\frac{a+b}{2}$ だから, 頂点の $y$ 座標は \[ y = \bigg(\frac{a+b}{2}-a\bigg)\bigg(\frac{a+b}{2}-b\bigg) = -\frac{(b-a)^2}{4}. \] よって, 公式2 より図の斜線部分の面積は \[ (b-a)\cdot\frac{(b-a)^2}{4}\cdot\frac{\;2\;}{3} = \frac{(b-a)^3}{6}. \] $a\leqq x\leqq b$のとき $(x-a)(x-b)\leqq0$だから \[ \int_a^b (x-a)(x-b) \,dx = -\frac{(b-a)^3}{6} \] であることが分かる. ■

丁寧に書いたらこんなもんだけど, 理解するだけなら図を描いて一行計算するだけで済みます.

個人的な話

最近、MathJax というものを知り、livedoorblogでもTeXが打てるように設定しました。

(MathJaxを知らない方がいましたら、黒木玄先生のMathJaxの使い方がとても参考になります。)

ブログでも数式がきれいに打てるようになった記念に、少し真面目な数学記事を書いてみました。

今まではTeXclipで数式を書いて、画像を保存して貼り付けてた。

今日書いた数式を全部画像にしてたらすっげぇ面倒くさいだろな。数式を書き直すときは画像を削除して最初から作らなきゃいけないんだし。もっと早く知りたかった。。。

これを機に、ブログの奥に眠っている数学記事を成仏させていきたいと思う。

thank Q for your rEaDing.φ(・▽・ )
◆◆'09に開設しました◆◆
  • 今日:
  • 昨日:
  • 累計:

◆◆ブログ内検索◆◆
◆◆画像・数式展示場◆◆
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • 中学生でもわかるかもしれない放物線と面積
  • この日、にこにこの日
  • 内分ゴレライ
  • 内分ゴレライ
  • 内分ゴレライ
  • 内分ゴレライ
  • 内分ゴレライ
  • 111...1
  • 111...1
  • 111...1
◆◆フォローはご自由に◆◆
◆◆あ、どうも。◆◆
◆◆母の親友の本です◆◆
  • ライブドアブログ