XをBanach空間，S⊂Xを空でない閉集合，f:S→Sを縮小写像とする．
このとき，fは唯一の不動点(f(a)=aとなる点)を持つ．

これがBanachの不動点定理です（縮小写像の原理とも言います）．



何言ってんだかよく分からない人もいるかもしれませんが，
そんなのほっといて例を見ていきましょう．



この写真を見てください：








この写真に数学っぽく座標を加えて，写真をこのように写します：


　　　　　　　　↓f





これは青枠内から青枠内への写像になっていて，
さらに縮小写像になっています．



ということは，Banachの不動点定理より，まったく動いていない点が１つだけ存在します．



写真を重ねて考えて見ましょう．




この場合，オッサンの鼻が不動点ですね！



今度は，この写像を考えてみましょう：


　　　　　　　　↓g





さて，不動点は存在するでしょうか？



よく見ると，元の写真よりも鼻周辺がでっかくなっちゃっているので，縮小写像ではありません．

でも，これは青枠内への連続写像ですよね．



実はBrouwerの不動点定理によると，有界凸閉集合から自身への連続写像は不動点を持ちます（唯一とは限りません）！

オッサンの顔をテキトーにいじくっちゃったので，２番目の例はどこが不動点なのかよくわかりませんが，オッサンの右ヒジ付近に一個ありそうですね。



詳しい証明はマスプラスに載せるつもりです！

thank Q for your rEaDing.φ(￣ー￣ )