「1が並ぶ数字」について興味深いことを知ったので紹介します.

一応確認ですが, 「1が並ぶ数字」というのは1とか, 11とか, 111とか, 1111とか, 1が有限個並んでいる数字のことです.



「1がn個並ぶ数字」を
111
と書くことにしましょう.

このとき, こんなことが言えるそうです. へぇ〜

定理
$\underbrace{111\cdots1}_{n}$が素数であるならば, $n$は素数である.



証明は割と簡単です.



[証明]
対偶で示します.
$n$が素数でないとすると,
\[ n=ab (a>1, b>1) \] と表せます($a$と$b$は1でなければ何でもOK).

すると

(便宜上, 数字の先頭に 0 を書いています)

という風に因数分解できるので素数でないことが分かります. ■



例えば, 1が35個並んだ数字を考えると, 35=5×7なので
11111111111111111111111111111111111
= 11111 × (0000)1000010000100001000010000100001
っていう感じで因数分解できます.

35=7×5だからもちろん
11111111111111111111111111111111111
= 1111111 × (000000)10000001000000100000010000001
とも因数分解できます.



ついでに, あの命題の逆
$n$が素数ならば, $\underbrace{111\cdots1}_{n}$も素数である.



が正しいかどうかを調べました.



11は確かに素数ですが, 
111でいきなり3の倍数に出くわしました.Σ(・ω・ノ)ノデデーン

「いや, もしかしたら111は例外なのかも知れないぞ?」
と思い, 100以下の素数について調べてみました.

どれどれ・・・?

2Prime
33 * 37
541 * 271
7239 * 4649
1121649 * 513239
1353 * 79 * 265371653
172071723 * 5363222357
19Prime
23Prime
293191 * 16763 * 43037 * 62003 * 77843839397
312791 * 6943319 * 57336415063790604359
372028119 * 247629013 * 2212394296770203368013
4183 * 1231 * 538987 * 201763709900322803748657942361
43173 * 1527791 * 1963506722254397 * 2140992015395526641
4735121409 * 316362908763458525001406154038726382279
53107 * 1659431 * 1325815267337711173 * 7198858799491425660200071
592559647034361 * 4340876285657460212144534289928559826755746751
61733 * 4637 * 329401 * 974293 * 1360682471 * 106007173861643 * 7061709990156159479
67493121 * 79863595778924342083 * 28213380943176667001263153660999177245677
71241573142393627673576957439049 * 45994811347886846310221728895223034301839
7312171337159 * 1855193842151350117 * 49207341634646326934001739482502131487446637
79317 * 6163 * 10271 * 307627 * 49172195536083790769 * 3660574762725521461527140564875080461079917
833367147378267 * 9512538508624154373682136329 * 346895716385857804544741137394505425384477
89497867 * 103733951 * 104984505733 * 5078554966026315671444089 * 403513310222809053284932818475878953159
9712004721 * 846035731396919233767211537899097169 * 109399846855370537540339266842070119107662296580348039

ほとんど合成数じゃねーか!


予想外すぎるΣ( ̄ロ ̄|||)


さらに詳しく調べてみたところ, 
「全ての桁が1の数」にはレピュニット(Repunit)という名前が付いていて,
既に研究されていました.

「1がn個並んだ数」を R_n とおくと,
repunit
と表せます. (調べて気づいたんですけど)

どーやらレピュニットが素数であることは今現在
 n = 2, 19, 23, 317, 1031
のときしか分かっていないそーです.

すっくねー

レピュニットであり素数でもある数をレピュニット素数と呼ぶそうですが,
レピュニット素数は無限個あるかどうか分かっていないそーです.

まじかー



素数に関連する未解決問題、多いねー

暇すぎて死にそうになったら, 証明考えてみようと思います(多分やらない)

皆さんもぜひ!



参考文献

thank Q for your rEaDing.φ(1_1 )